流路急拡大部の流速計算法【バックステップ流れ】

気体の内部流れについて着目するとき、流路があるところで狭くなったり、広くなったりする部分の解析（計算）を行いたい場合があります。

流路があるところで狭くなる流れ（流路急縮小）に関しては、穴の開いたタンクから流出する流れと考えることができ、以前の記事で紹介したオリフィスの式を適用できます。

一方、流路があるところで広くなる流れ（流路急拡大）に関しては、流れの後方で大きな渦（剥離）が出来るなど、流れの様相としては複雑で式化が難しい現象です。

本記事では、前後の圧力差によって気体が流れる流路急拡大部の流れの取り扱い方法について紹介します。

流路急拡大

下図のように断面積 $A_1\,(m)$ の流路から、これよりも大きな断面積 $A_2\,(m)$ への流れについて考えます。

このとき、流れは断面１（圧力 $p_1\,(Pa\:abs.)$ , 流速 $v_1\,(m/s)$ ）で一様で、急拡大部を通って減速し、断面２（圧力 $p_2\,(Pa\:abs.)$ , 流速 $v_2\,(m/s)$ ）で再付着して一様になるものとします。

また、拡大面の圧力を $p_f\,(Pa\:abs.)$ とします。

ここで、流れを整理するために音速 $a$ と流速 $v$ との比であるマッハ数 $M$ を導入します。

fig. 1の流れは定常流であるとして質量流量を $\dot{m}\,(kg/s)$ 、比熱比（空気の場合は１．４）を $\kappa$ 、断面１での音速を $a_1\,(m/s)$ 、密度を $\rho_1\,(kg/m^3)$ 、断面２での音速を $a_2\,(m/s)$ 、密度を $\rho_2\,(kg/m^3)$ と置くと、それぞれの断面でのマッハ数 $M_1,\,M_2$ は以下のようになります。

$\begin{eqnarray} &&M_1 \equiv \frac{v_1}{a_1} = \frac{\dot{m}}{A_1\sqrt{\kappa \, \rho_1 \, p_1}} \tag{1} \\ \\ &&M_2 \equiv \frac{v_2}{a_2} = \frac{\dot{m}}{A_2\sqrt{\kappa \, \rho_2 \, p_2}} \tag{2} \\ \\ \end{eqnarray}$

心太

もし、密度 $\rho$ が分からない場合は温度 $T\,(K)$ が分かれば、理想気体の状態方程式より求めることができますね。

$\rho=\displaystyle\frac{p}{R\,T} \tag{3}$

気体定数 $R$ は前の記事で求めた通り、空気の場合は約 $287 \, J/(kg\cdot K)$ となりますね。

流路急拡大部において、式（１）、（２）で求めたマッハ数同士の関係は以下のようになります。

流路急拡大の式

$\frac{M_1 \sqrt{2+\left(\kappa\,-\,1\right)M_1^2}}{1+\kappa M_1^2+\displaystyle\frac{p_f}{p_1}\left( \frac{1}{\phi}\,-\,1\right)} =\frac{M_2 \sqrt{2+\left(\kappa\,-\,1\right)M_2^2}}{1+\kappa M_2^2} \tag{4}$

※ 拡大面積比 $\phi \equiv \frac{A_1}{A_2}$