モータの機械的時定数とは【電動化、1D CAE】

以前の記事にてDCモータが回転するメカニズムについて解説しました。

本記事ではモータの機械的時定数の意味について解説し、機械的時定数の導出についても解説していきます。

機械的時定数とは

DCモータに一定の電圧を印加すると回転数が上昇し、やがて一定の回転数（定常回転数）になります。

機械的時定数（Mechanical time constant）とは、電源ONから定常回転数の63.2%に達するまでの時間のことです。

カヲル

回転数$N$（単位：$rpm$）と角速度$\omega$（単位：$rad/s$）は以下の関係があるよ。

$\omega = N \times \displaystyle \frac{\pi}{30} \tag{1}$

モータのアーマチュア（回転子）の慣性モーメントを$J$（単位：$kg \cdot m^2$）、巻線の電気抵抗を$R$（単位：$\Omega$）、トルク定数を$K_T$（単位：$N \cdot m/A$）、逆起電力定数を$K_E$（単位：$V/(rad/s)$）と置くと、機械的時定数$\tau_M$（単位：$s$）は下式より求まります。

モータの機械的時定数

$$ \tau_M = \frac{J\,R}{K_T\,K_E} \tag{2} $$

機械的時定数の導出

まず、電圧$e_{mt}$（単位：$V$）を印加し、モータシャフトに負荷トルク$T_{ld}$（単位：$N \cdot m$）を加えた時に角速度が$\omega$（単位：$rad/s$）となる下図のようなDCモータのモデル（等価回路）を考えます。

モータに電圧$e_{mt}$を印加した際に流れる電流を$i$（単位：$A$）と置くと、上記のモデルを表現する数理式は以下のようになります。

$$\begin{eqnarray} &&e_{mt} = R\,i + L \frac{di}{dt} + K_E \omega \tag{3}\\ &&J \frac{d\omega}{dt} = K_T i \,- \, T_{ld} \tag{4} \end{eqnarray}$$

カヲル

式（３）、（４）の導出は以下の記事をみてね！

基礎から学ぶDCモータの1Dモデル化① ～MATLAB/Simulink～

本記事では $t<0$ でモータに印加される電圧が $0$（$V$）だった状態が、$t \geq 0$ でモータに印加される電圧が $e_{mt}$（$V$）となるステップ入力での応答（ステップ応答）について考えます。

このとき、機械的な応答より電気的な応答のほうが十分速いものとして、巻線のインダクタンス$L$（単位：$H$）は無視できるものとすると、式（３）は以下のようになります。

$$ e_{mt} = R\,i + K_E \omega \tag{5}\\ $$

上式を$i$について解くと

$$ i = \,-\, \frac{K_E}{R} \omega + \frac{e_{mt}}{R} \tag{6}\\ $$

となります。式（４）に式（６）を代入し整理すると

$$ \begin{eqnarray} && J \frac{d\omega}{dt} = K_T \left( -\, \frac{K_E}{R} \omega + \frac{e_{mt}}{R} \right) \,- \, T_{ld} \tag{7}\\ \\ \rightarrow && \frac{d\omega}{dt} = \,-\, \frac{K_T}{J} \left( \frac{K_E}{R} \omega \,-\, \frac{e_{mt}}{R} + \frac{1}{K_T}T_{ld} \right) \tag{8} \\ \end{eqnarray} $$

となります。上式を変数分離すると

$$ \frac{1}{\displaystyle \frac{K_E}{R} \omega \,-\, \frac{e_{mt}}{R} + \frac{1}{K_T}T_{ld}} d\omega = \,-\, \frac{K_T}{J} dt \tag{9} \\ $$

となります。両辺を積分し、整理すると以下のようになります。（$C_1$は積分定数）

$$ \begin{eqnarray} &&\int{\frac{1}{\displaystyle \frac{K_E}{R} \omega \,-\, \frac{e_{mt}}{R} + \frac{1}{K_T}T_{ld}}} d\omega = \int{\,-\, \frac{K_T}{J} }dt \tag{10} \\ \\ \rightarrow && \frac{R}{K_E}\,\ln{\left( \frac{K_E}{R} \omega \,-\, \frac{e_{mt}}{R} + \frac{1}{K_T}T_{ld}\right)} = \,-\, \frac{K_T}{J}t + C_1 \tag{11} \\ \\ \rightarrow && \ln{\left( \frac{K_E}{R} \omega \,-\, \frac{e_{mt}}{R} + \frac{1}{K_T}T_{ld}\right)} = \,-\, \frac{K_T K_E}{J R}t + \frac{K_E}{R}C_1 \tag{12} \\ \\ \end{eqnarray} $$

式（１２）の $\frac{K_E}{R}C_1$ は定数であるので$C_2$と置き換え、両辺に指数をとると

$$ \frac{K_E}{R} \omega \,-\, \frac{e_{mt}}{R} + \frac{1}{K_T}T_{ld} = \exp\left(-\, \frac{K_T K_E}{J R}t + C_2 \right) \tag{13} \\ $$

となり、式（１３）の$\exp(C_2)$は定数であるので$C_3$と置き換え、$\omega$について解くと

$$ \begin{eqnarray} &&\frac{K_E}{R} \omega \,-\, \frac{e_{mt}}{R} + \frac{1}{K_T}T_{ld} = C_3 \exp\left(-\, \frac{K_T K_E}{J R}t \right) \tag{14} \\ \\ \rightarrow && \frac{K_E}{R} \omega = C_3 \exp\left(-\, \frac{K_T K_E}{J R}t \right) + \frac{e_{mt}}{R} \,-\, \frac{1}{K_T}T_{ld} \tag{15} \\ \\ \rightarrow && \omega = C_4 \exp\left(-\, \frac{K_T K_E}{J R}t \right) + \left( \frac{e_{mt}}{K_E} \,-\, \frac{R}{K_T K_E}T_{ld} \right) \tag{16} \\ \end{eqnarray} $$

となります。ここで、$t=0$のとき、$\omega=0$という初期条件を与えると

$$ C_4 = \,-\, \left( \frac{e_{mt}}{K_E} \,-\, \frac{R}{K_T K_E}T_{ld} \right) \tag{17} \\ $$

となるので、式（１６）に式（１７）を代入すると以下のようになります。

$$ \omega = \left( \frac{e_{mt}}{K_E} \,-\, \frac{R}{K_T K_E}T_{ld} \right) \left[1 \,-\, \exp \left( \,-\, \frac{K_T K_E}{J T}t \right) \right] \tag{18} \\ $$

なお、角速度$\omega$が変化する中で、負荷トルク$T_{ld}$を厳密に一定にすることは通常は困難あることが多いです。

よって、式（１８）に $T_{ld} = 0$ を代入し、無負荷時のステップ応答を求めると下式のようになります。

モータのステップ応答

$$ \omega = \frac{e_{mt}}{K_E} \left[1 \,-\, \exp \left( \,-\, \frac{K_T K_E}{J T}t \right) \right] \tag{19} \\ $$

式（１９）の $\frac{J R}{K_T K_E}$ の部分は応答の速さを示し、機械的時定数と呼ばれます。