変数係数 二階線形同次微分方程式の解き方

定数係数の二階線形同次微分方程式は、特性方程式の解から一般解を導出することができます。

しかし、式（１）のような変数係数の二階線形同次微分方程式（斉次微分方程式）を一般的に解く方法はなく、限られた場合しか解く方法はありません。

なお、変数係数というのは、係数が$x$の関数になっているものを指します。

$$y” + P(x) y’ + Q(x) y = 0 \tag{1} $$

本記事では、下記の解法が適用できる場合ついて、解説していきます。

解法

式（１）の微分方程式の特殊解$v(x)$を見つけ、$y = u(x) v(x)$とおくと、式（１）は$u'(x)$を未知関数とする一階同次方程式に帰着される。

例題と解答

心太

上で示す解法を使う場合は、何らかの方法で式（１）の特殊解$v(x)$を見つけないとダメですね。。。

カヲル

特殊解の形を予測して、それらを代入して試してみるしかないね。
候補としては$y = x^m$や$y = e^{mx}$が考えられるよ。

例題

次の微分方程式の一般解を求めよ。

$$\begin{eqnarray} &(1)& \ y” + \frac{1}{x} y’ \, – \frac{1}{x^2} y = 0 \\ &(2)& \ xy” \, – (3x + 1) y’ + 3 y = 0 \end{eqnarray}$$

解答（１）
特殊解として$y = x^m$の形を試してみる。
$y = x^m$、$y’ = mx^{m-1}$、$y” = m(m-1)x^{m-2}$を微分方程式に代入すると、

$$ m(m-1)x^{m-2} + \frac{1}{x} mx^{m-1} \, – \frac{1}{x^2} x^m = 0 $$

となる。式を整理すると、

$$\begin{eqnarray} m(m-1)x^{m-2} + mx^{m-2} \, – x^{m-2} &=& 0 \\ \\ \{m(m-1)+m-1\}x^{m-2} &=& 0 \\ \\ (m^2 – 1)x^{m-2} &=& 0 \\ \\ (m + 1)(m – 1)x^{m-2} &=& 0 \end{eqnarray}$$

となり、$m=-1$または$m=1$ならば恒等式が成り立つから、$y = x^{-1}$、$y = x^{1}$が特殊解となる。
この２つの解は１次独立であり基本解となるから、$C_1$、$C_2$を任意定数とし線形結合すると、一般解は下記のようになる。

$$ y = C_1 \, x + \frac{C_2}{x} $$

カヲル

もし、恒等式が成り立つような$m$が見つからないときは、特殊解候補としてハズレなので他の候補を試してみてね！

解答（２）
特殊解として$y = e^{mx}$の形を試してみる。
$y = e^{mx}$、$y’ = m\, e^{mx}$、$y” = m^2 \, e^{mx}$を微分方程式に代入すると、

$$ x m^2 \, e^{mx} \, – (3x + 1) m\, e^{mx} + 3 \, e^{mx} = 0 $$

となる。両辺を$e^{mx}$で割って整理すると、

$$\begin{eqnarray} x m^2 \, – (3x + 1) m + 3 &=& 0 \\ \\ (m – 3)(mx \, – 1) &=& 0 \end{eqnarray}$$

となり、$m=3$ならば恒等式が成り立つから、$y = e^{3x}$が特殊解となる。
上で示した解法に沿って、$y = u e^{3x}$（$u$は$x$の関数）に変換する。
$y = u e^{3m}$を1階微分すると、

$$\begin{eqnarray} y’ &=& u’ e^{3x} + 3u e^{3x} \\ \\ &=& (u’ + 3u) e^{3x} \end{eqnarray}$$

$y = u e^{3m}$を2階微分すると、

$$\begin{eqnarray} y” &=& u” e^{3x} + 3u’ e^{3x} + 3u’e^{3x} + 9u e^{3x} \\ \\ &=& (u” + 6u’ + 9u) e^{3x} \end{eqnarray}$$

となる。求めた$y$、$y’$、$y”$を微分方程式に代入すると、

$$ x(u” + 6u’ + 9u) e^{3x} \, – (3x + 1) (u’ + 3u) e^{3x} + 3 u e^{3x} = 0 $$

となる。両辺を$e^{3x}$で割って整理すると、

$$\begin{eqnarray} x(u” + 6u’ + 9u) \, – (3x + 1) (u’ + 3u) + 3u &=& 0 \\ \\ xu” + 6xu’ + 9xu – 3xu’ – 9xu – u’ – 3u + 3u &=& 0 \\ \\ xu” + (3x \, – 1)u’ &=& 0 \\ \\ u” + (3 \, – \frac{1}{x}) u’ &=& 0 \end{eqnarray}$$

となる。これは$u’$を未知変数とする一階線形同次微分方程式である。

一階線形同次微分方程式の公式

$y’ + P(x)y = 0$の一般解は、$C$を任意定数とすると下記のように表される。

$$ y = C \, \exp\left\{- \int P(x) \, dx \right\} $$

よって、$C_1$を任意定数とし、上記の公式を用いると、

$$\begin{eqnarray} u’ &=& C_1 \exp \left\{ – \int \left( 3-\frac{1}{x} \right) \, dx \right\} \\ \\ &=& C_1 \exp \left( -3x + \ln|x| \right) \\ \\ &=& C_1 \, e^{\ln|x|} \, e^{-3x} \\ \\ &=& C_1 \, |x| \, e^{-3x} \\ \\ &=& \pm \, C_1 \, x \, e^{-3x} \end{eqnarray}$$

となる。$\pm \, C_1$を改めて$C_1$と置きなおし、$u’$を積分して$u$を求めると、

$$ u = C_1 \, \int x \, e^{-3x} \, dx + C_2 $$

となる。ここで積分の部分を先に計算する。部分積分を用いると、

$$\begin{eqnarray} \int x \, e^{-3x} \, dx &=& -\frac{1}{3} \int x (e^{-3x})’ dx \\ \\ &=& -\frac{1}{3} \left\{x e^{-3x} \, – \int (x)’ e^{-3x} dx\right\} \\ \\ &=& -\frac{1}{3} \left( x \, + \frac{1}{3} \right) e^{-3x} \\ \\ &=& -\frac{1}{9} \left( 3x \, + 1 \right) e^{-3x} \\ \end{eqnarray}$$

となるから、元の式に代入して、

$$ u = \, – \frac{1}{9} C_1 \left( 3x + 1 \right) e^{-3x} + C_2 $$

となる。ここで、$- (1/9) C_1$を改めて$C_1$と置きなおすと、

$$ u = C_1 \left( 3x + 1 \right) e^{-3x} + C_2 $$

となり、$y = u e^{3x}$に代入すると一般解は次のようになる。

$$\begin{eqnarray} y &=& C_1 \left( 3x + 1 \right) e^{-3x} e^{3x} + C_2 e^{3x} \\ \\ &=& C_1 \left( 3x + 1 \right) + C_2 e^{3x} \end{eqnarray}$$