変数係数 二階線形同次微分方程式の解き方

定数係数の二階線形同次微分方程式は、特性方程式の解から一般解を導出することができます。

しかし、式（１）のような変数係数の二階線形同次微分方程式（斉次微分方程式）を一般的に解く方法はなく、限られた場合しか解く方法はありません。

なお、変数係数というのは、係数が $x$ の関数になっているものを指します。

$y” + P(x) y’ + Q(x) y = 0 \tag{1}$

本記事では、下記の解法が適用できる場合ついて、解説していきます。

解法

式（１）の微分方程式の特殊解 $v(x)$ を見つけ、 $y = u(x) v(x)$ とおくと、式（１）は $u'(x)$ を未知関数とする一階同次方程式に帰着される。

例題と解答

心太

上で示す解法を使う場合は、何らかの方法で式（１）の特殊解 $v(x)$ を見つけないとダメですね。。。

カヲル

特殊解の形を予測して、それらを代入して試してみるしかないね。
候補としては $y = x^m$ や $y = e^{mx}$ が考えられるよ。

例題

次の微分方程式の一般解を求めよ。

$\begin{eqnarray} &(1)& \ y” + \frac{1}{x} y’ \, – \frac{1}{x^2} y = 0 \\ &(2)& \ xy” \, – (3x + 1) y’ + 3 y = 0 \end{eqnarray}$

解答（１）
特殊解として $y = x^m$ の形を試してみる。
$y = x^m$ 、 $y’ = mx^{m-1}$ 、 $y” = m(m-1)x^{m-2}$ を微分方程式に代入すると、

$m(m-1)x^{m-2} + \frac{1}{x} mx^{m-1} \, – \frac{1}{x^2} x^m = 0$

となる。式を整理すると、

$\begin{eqnarray} m(m-1)x^{m-2} + mx^{m-2} \, – x^{m-2} &=& 0 \\ \\ \{m(m-1)+m-1\}x^{m-2} &=& 0 \\ \\ (m^2 – 1)x^{m-2} &=& 0 \\ \\ (m + 1)(m – 1)x^{m-2} &=& 0 \end{eqnarray}$

となり、 $m=-1$ または $m=1$ ならば恒等式が成り立つから、 $y = x^{-1}$ 、 $y = x^{1}$ が特殊解となる。
この２つの解は１次独立であり基本解となるから、 $C_1$ 、 $C_2$ を任意定数とし線形結合すると、一般解は下記のようになる。

$y = C_1 \, x + \frac{C_2}{x}$

カヲル

もし、恒等式が成り立つような $m$ が見つからないときは、特殊解候補としてハズレなので他の候補を試してみてね！

特殊解として $y = e^{mx}$ の形を試してみる。
$y = e^{mx}$ 、 $y’ = m\, e^{mx}$ 、 $y” = m^2 \, e^{mx}$ を微分方程式に代入すると、

$x m^2 \, e^{mx} \, – (3x + 1) m\, e^{mx} + 3 \, e^{mx} = 0$

となる。両辺を $e^{mx}$ で割って整理すると、

$\begin{eqnarray} x m^2 \, – (3x + 1) m + 3 &=& 0 \\ \\ (m – 3)(mx \, – 1) &=& 0 \end{eqnarray}$

となり、 $m=3$ ならば恒等式が成り立つから、 $y = e^{3x}$ が特殊解となる。
上で示した解法に沿って、 $y = u e^{3x}$ （ $u$ は $x$ の関数）に変換する。
$y = u e^{3m}$ を1階微分すると、

$\begin{eqnarray} y’ &=& u’ e^{3x} + 3u e^{3x} \\ \\ &=& (u’ + 3u) e^{3x} \end{eqnarray}$

$y = u e^{3m}$ を2階微分すると、

$\begin{eqnarray} y” &=& u” e^{3x} + 3u’ e^{3x} + 3u’e^{3x} + 9u e^{3x} \\ \\ &=& (u” + 6u’ + 9u) e^{3x} \end{eqnarray}$

となる。求めた $y$ 、 $y’$ 、 $y”$ を微分方程式に代入すると、

$x(u” + 6u’ + 9u) e^{3x} \, – (3x + 1) (u’ + 3u) e^{3x} + 3 u e^{3x} = 0$

となる。両辺を $e^{3x}$ で割って整理すると、

$\begin{eqnarray} x(u” + 6u’ + 9u) \, – (3x + 1) (u’ + 3u) + 3u &=& 0 \\ \\ xu” + 6xu’ + 9xu – 3xu’ – 9xu – u’ – 3u + 3u &=& 0 \\ \\ xu” + (3x \, – 1)u’ &=& 0 \\ \\ u” + (3 \, – \frac{1}{x}) u’ &=& 0 \end{eqnarray}$

となる。これは $u’$ を未知変数とする一階線形同次微分方程式である。

一階線形同次微分方程式の公式

$y’ + P(x)y = 0$ の一般解は、 $C$ を任意定数とすると下記のように表される。

$y = C \, \exp\left\{- \int P(x) \, dx \right\}$

よって、 $C_1$ を任意定数とし、上記の公式を用いると、

$\begin{eqnarray} u’ &=& C_1 \exp \left\{ – \int \left( 3-\frac{1}{x} \right) \, dx \right\} \\ \\ &=& C_1 \exp \left( -3x + \ln|x| \right) \\ \\ &=& C_1 \, e^{\ln|x|} \, e^{-3x} \\ \\ &=& C_1 \, |x| \, e^{-3x} \\ \\ &=& \pm \, C_1 \, x \, e^{-3x} \end{eqnarray}$

となる。 $\pm \, C_1$ を改めて $C_1$ と置きなおし、 $u’$ を積分して $u$ を求めると、

$u = C_1 \, \int x \, e^{-3x} \, dx + C_2$

となる。ここで積分の部分を先に計算する。部分積分を用いると、

$\begin{eqnarray} \int x \, e^{-3x} \, dx &=& -\frac{1}{3} \int x (e^{-3x})’ dx \\ \\ &=& -\frac{1}{3} \left\{x e^{-3x} \, – \int (x)’ e^{-3x} dx\right\} \\ \\ &=& -\frac{1}{3} \left( x \, + \frac{1}{3} \right) e^{-3x} \\ \\ &=& -\frac{1}{9} \left( 3x \, + 1 \right) e^{-3x} \\ \end{eqnarray}$

となるから、元の式に代入して、

$u = \, – \frac{1}{9} C_1 \left( 3x + 1 \right) e^{-3x} + C_2$

となる。ここで、 $- (1/9) C_1$ を改めて $C_1$ と置きなおすと、

$u = C_1 \left( 3x + 1 \right) e^{-3x} + C_2$

となり、 $y = u e^{3x}$ に代入すると一般解は次のようになる。

$\begin{eqnarray} y &=& C_1 \left( 3x + 1 \right) e^{-3x} e^{3x} + C_2 e^{3x} \\ \\ &=& C_1 \left( 3x + 1 \right) + C_2 e^{3x} \end{eqnarray}$