今回は分数関数の積分の解き方について扱います。本記事は以下の要素を含んでいます。
- 部分分数分解
- 定積分の置換積分
- 工学への応用（流体力学）⇒ 記事作成中
では早速、問題を見ていこう！
問題
次の定積分を求めよ。なお、\((a\,-\,1) > 0\)とする。
$$
\int_x^1 \left[ \frac{4}{ax^3} \left\{\frac{1-x^2}{(a-1)x^2+2} \right\} \right] dx
$$
まず、定数である\(1/a\)を積分の外に出します。
“4”も外に出したいところですが、本問題はあったほうがすっきりしますので下式のように残します。
$$
\frac{1}{a}\int_x^1 \left\{\frac{-\,4x^2+4}{x^3 \{ (a-1)x^2+2 \} } \right\} dx
$$
さて、本問題は分数関数になっているため、そのまま積分することは難しいです。
よって、下記のように分数部分を部分分数分解をします。
$$\begin{eqnarray}
\frac{-\,4x^2+4}{x^3 \{ (a-1)x^2+2 \} }
&=&\frac{A}{x^3} + \frac{B}{(a-1)x^2+2}\\
&=&\frac{A \{ (a-1)x^2+2 \} + Bx^3}{x^3 \{(a-1)x^2+2 \} }\\
\end{eqnarray}$$
ここで、\(B = C/x\)と置くと
$$\begin{eqnarray}
\frac{-4\,x^2+4}{x^3 \{ (a-1)x^2+2 \} }
&=&\frac{A \{ (a-1)x^2+2 \} + Cx^2}{x^3 \{(a-1)x^2+2 \} }\\
&=&\frac{\{ A(a-1)+C \}x^2 + 2A}{x^3 \{(a-1)x^2+2 \} }\\
\end{eqnarray}$$
上式の分子部分で恒等式が立て、\(A\)を求めます。
$$\begin{eqnarray}
2A &=& 4\\
A &=& 2
\end{eqnarray}$$
同様に二次の項で恒等式を立て、\(A=2\)を代入します。
$$\begin{eqnarray}
\{ A(a-1)+C \}x^2 &=& -\,4x^2\\
\{ 2(a-1)+C \}x^2 &=& -\,4x^2\\
2a \,-\, 2 + 4 &=& -\,C\\
C&=&-\,2(a+1)
\end{eqnarray}$$
\(B = C/x\)より
$$
B = -\,\frac{2(a+1)}{x}
$$
よって
$$
\frac{-\,4x^2+4}{x^3 \{ (a-1)x^2+2 \} }
=\frac{2}{x^3} \,-\, \frac{2(a+1)}{x\{(a-1)x^2+2\}}\\
$$
上式右辺の第二項を更に部分分数分解を行います。
$$
\begin{eqnarray}
\frac{1}{x\{(a-1)x^2+2\}}
&=& \frac{D}{x}+\frac{E}{(a-1)x^2+2}\\
&=& \frac{D\{(a-1)x^2+2\}+Ex}{x\{(a-1)x^2+2\}}\\
&=& \frac{(a-1)Dx^2+2D+Ex}{x\{(a-1)x^2+2\}}
\end{eqnarray}
$$
ここで、\(E = Fx\)と置くと
$$
\begin{eqnarray}
\frac{1}{x\{(a-1)x^2+2\}}
&=& \frac{(a-1)Dx^2+2D+Fx^2}{x\{(a-1)x^2+2\}}\\
&=& \frac{\{(a-1)D+F\}x^2+2D}{x\{(a-1)x^2+2\}}
\end{eqnarray}
$$
分子部分で恒等式を立てると
$$
\begin{eqnarray}
2D &=& 1\\
D &=& \frac{1}{2}
\end{eqnarray}
$$
同様に二次の項で恒等式を立て、\(D=1/2\)を代入すると
$$
\begin{eqnarray}
\{(a-1)D+F\}x^2 &=& 0\\
\{\frac{1}{2}(a-1)+F\}x^2 &=& 0\\
F &=& -\,\frac{a-1}{2}
\end{eqnarray}
$$
\(E = Fx\)より
$$
E = -\,\frac{(a-1)x}{2}
$$
よって
$$
\begin{eqnarray}
\frac{-\,4x^2+4}{x^3 \{ (a-1)x^2+2 \} }
&=&\frac{2}{x^3} \,-\, \frac{2(a+1)}{x\{(a-1)x^2+2\}}\\
&=&\frac{2}{x^3} \,-\, 2(a+1) \left[ \frac{1}{2x} \,-\, \frac{(a-1)x}{2 \left\{ (a-1)x^2+2 \right\} } \right]\\
&=&\frac{2}{x^3} \,-\, \frac{a+1}{x} + \frac{(a+1)(a-1)x}{(a-1)x^2+2}
\end{eqnarray}
$$
上式を元の定積分の式に戻すと
$$
\begin{eqnarray}
&&\frac{1}{a}\int_x^1 \left\{\frac{-\,4x^2+4}{x^3 \{ (a-1)x^2+2 \} } \right\} dx\\
&&\quad= \frac{1}{a}\int_x^1 \frac{2}{x^3} \,dx
\,-\, \frac{1}{a}\int_x^1 \frac{a+1}{x} \,dx
+ \frac{1}{a}\int_x^1 \frac{(a+1)(a-1)x}{(a-1)x^2+2} \,dx
\end{eqnarray}
$$
上式の第三項はそのままでは解けないため、置換積分を行います。
\(t = (a-1)x^2+2\)と置くと、
$$
\begin{eqnarray}
&&\frac{dt}{dx} = 2(a-1)x\\
\\
&&dt = 2(a-1)x \, dx
\end{eqnarray}
$$
つぎに\(t\)に置換したときの区間の対応について見ていきます。
\begin{array}{c|ccc} x & x & \cdots & 1 \\ \hline t & (a-1)x^2+2 & \cdots & (a-1)+2 \\ \end{array}よって、
$$
\begin{eqnarray}
\frac{1}{a}\int_x^1 \frac{(a+1)(a-1)x}{(a-1)x^2+2} \,dx
&=& \frac{1}{a}\int_x^1 \left\{ \frac{(a+1)}{(a-1)x^2+2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 2(a-1)x \right\}\,dx\\
&=& \frac{1}{a}\int_{(a-1)x^2+2}^{(a-1)+2} \frac{a+1}{2t} \,dt\\
&=& \frac{a+1}{2a} \left[ \ln |t| \right]_{(a-1)x^2+2}^{(a-1)+2}
\end{eqnarray}
$$
元の積分の式に代入すると
$$
\begin{eqnarray}
&&\frac{1}{a}\int_x^1 \frac{2}{x^3} \,dx
+ \frac{1}{a}\int_x^1 \frac{a+1}{x} \,dx
+ \frac{1}{a}\int_x^1 \frac{(a+1)(a-1)x}{(a-1)x^2+2} \,dx\\
&&\quad= \frac{2}{a} \left[- \,\frac{1}{2x^2} \right]_x^1
\,-\, \frac{a+1}{a} \left[ \ln |x| \right]_x^1
+ \frac{a+1}{2a} \left[ \ln | t | \right]_{(a-1)x^2+2}^{(a-1)+2}\\
&&\quad= \frac{1}{a} \left[- \,\frac{1}{x^2} \right]_x^1
\,-\, \frac{a+1}{2a} \left[ \ln (x^2) \right]_x^1
+ \frac{a+1}{2a} \left[ \ln |t| \right]_{(a-1)x^2+2}^{(a-1)+2}\\
&&\quad= \frac{1}{a} \left\{ 1 – \frac{1}{x^2} \right\}
\,-\, \frac{a+1}{2a} \left\{0 \,-\, \ln x^2 \right\}
+ \frac{a+1}{2a} \ln \left\{\frac{(a-1)+2}{(a-1)x^2+2}\right\}\\
&&\quad= \frac{1\,-\,x^2}{ax^2}
+ \frac{a+1}{2a} \ln \left\{\frac{(a+1)x^2}{(a-1)x^2+2}\right\}
\end{eqnarray}
$$
以上で積分の計算が完了しました。お疲れ様でした。
