モータの電気的時定数とは【電動化、1D CAE】

以前の記事にてDCモータが回転するメカニズムについて解説しました。

本記事ではモータの電気的時定数の意味について解説し、機械的時定数の導出についても解説していきます。

カヲル

機械的時定数に関してはこの記事を読んでね。

モータの機械的時定数とは【電動化、1D CAE】

電気的時定数とは

DCモータのシャフトを拘束（ロック）し、一定の電圧を印加すると電流が増加していき、やがて一定の電流になります。

電気的時定数（Electrical time constant）とは、電源ONから定常電流の63.2%に達するまでの時間のことです。

モータの巻線の電気抵抗を $R$ 、インダクタンスを $L$ と置くと、電気的時定数 $\tau_E$ （単位： $s$ ）は下式より求まります。

モータの電気的時定数

$\tau_E = \frac{L}{R} \tag{1}$

電気的時定数の導出

まず、電圧 $e_{mt}$ を印加し、モータシャフトを拘束（ロック）させたときに電流 $i$ （単位： $A$ ）が流れる下図のようなDCモータのモデル（等価回路）を考えます。

このとき、モータシャフトを拘束（ $\omega = 0$ ）しているため、逆起電力は発生しません。よって、単純なRL直列回路について考えればよいことになります。

RL直列回路の数理式は以下のようになります。

$e_{mt} = R\,i + L \frac{di}{dt} \tag{2}$

本記事では $t<0$ でモータに印加される電圧が $0$ （ $V$ ）だった状態が、 $t \geq 0$ でモータに印加される電圧が $e_{mt}$ （ $V$ ）となるステップ入力での応答（ステップ応答）について考えます。

まず、式（２）を変数分離すると

$\begin{eqnarray} && e_{mt} \,-\, R\,i = L \frac{di}{dt} \tag{3}\\ \\ \rightarrow && \frac{1}{e_{mt} \,-\, R\,i} \, \frac{di}{dt} = \frac{1}{L} \tag{4}\\ \\ \rightarrow && \frac{1}{i \,-\, \displaystyle \frac{e_{mt}}{R}} \, \frac{di}{dt} = \,-\, \frac{R}{L} \tag{5} \\ \\ \rightarrow && \frac{1}{i \,-\, \displaystyle \frac{e_{mt}}{R}} \, di = \,-\, \frac{R}{L}\, dt \tag{6} \\ \end{eqnarray}$

となり、両辺を積分すると以下のようになります。（ $C_1$ は積分定数）

$\begin{eqnarray} && \int{\frac{1}{i \,-\, \displaystyle \frac{e_{mt}}{R}} } \, di = \int{\,-\, \frac{R}{L}}\, dt \tag{7} \\ \\ \rightarrow && \ln\left| i \,-\, \frac{e_{mt}}{R} \right| = \,-\, \frac{R}{L}t + C_1 \tag{8} \\ \end{eqnarray}$

ここで指数をとると

$\left| i \,-\, \frac{e_{mt}}{R} \right| = \exp \left(\,-\, \frac{R}{L}t + C_1 \right) \tag{9} \\$

となります。左辺は全て正であるため、絶対値記号を外し、 $\exp(C_1)$ は定数であるため、 $C_2$ と置き換えると

$\begin{eqnarray} && i \,-\, \frac{e_{mt}}{R} = C_2 \exp \left(\,-\, \frac{R}{L}t \right) \tag{9} \\ \\ \rightarrow && i = \frac{e_{mt}}{R} + C_2 \exp \left(\,-\, \frac{R}{L}t \right) \tag{10} \\ \\ \end{eqnarray}$

となります。ここで、 $t=0$ のとき、 $i=0$ という初期条件を与えると

$C_2 = \,-\,\frac{e_{mt}}{R} \tag{11} \\$

となります。式（１０）に式（１１）を代入し、式を整理すると以下のようになります。

モータのステップ応答

$i = \frac{e_{mt}}{R} \left[ 1 \,-\, \exp \left(\,-\, \frac{R}{L}t \right) \right] \tag{12} \\$

式（１２）の $\frac{L}{R}$ の部分は応答の速さを示し、電気的時定数と呼ばれます。